El Hotel de Hilbert (Una paradoja del concepto infinito)

Se trata de un hotel que tiene infinitas habitaciones, por lo que puede albergar infinitos huéspedes.
Un huésped llega y pide una habitación. El recepcionista le informa de la situación:
Aunque es verdad que tenemos infinitas habitaciones, en este momento tenemos infinitos huéspedes, por lo que sintiéndolo mucho, no disponemos de ninguna habitación libre.
Ante el lamento del cliente, el recepcionista reacciona y le dice:
Perdone señor, pero creo que puedo alojarlo.
Ante el asombro del cliente, el empleado del hotel propone la siguiente forma:
Pediré al cliente que ocupa la habitación nº 1 que pase a la nº 2, al de la nº 2 le pediré que pase a la nº 3 y así de forma sucesiva. Como disponemos de infinitas habitaciones todos quedarán de nuevo alojados y la nº 1 quedará libre para Vd.
El huésped agradece los buenos oficios del encargado, pero le responde:
La solución que me acaba de proponer es imposible ya que para mover un huésped se requiere un cierto tiempo, y al tener que mover infinitos, se necesitaría un tiempo infinito, por lo que no terminaría nunca la mudanza.
Ante esta explicación, el empleado responde inmediatamente:
El señor no ha tenido en cuenta que por cada mudanza realizada se requerirá un 10 % de tiempo menos que por la anterior, por lo que si la primera se demora 1/4 hora, la mudanza de lo infinitos huéspedes durará dos horas y media. Así que puede el señor pasar al restaurante y comer, mientras le preparamos la habitación.
El cliente pasó al restaurante no muy convencido con la explicación recibida, pero cual sería su sorpresa cuando transcurrido el tiempo anunciado dispuso de la habitación nº 1.
Solución: 1+ 0,9 + 0,9^2 + 0,9^3 + … + 0,9^j + … = 1/(1-0,9) = 10 cuartos de hora (2,5 horas)